谷歌浏览器插件自动更新管理操作方法如下：
1. 打开谷歌浏览器，点击菜单栏的“工具”选项。
2. 在弹出的菜单中，选择“扩展程序和主题”。
3. 在扩展程序和主题页面中，点击右上角的齿轮图标，进入设置页面。
4. 在设置页面中，找到“自动更新”选项。如果该选项未启用，请将其启用。
5. 启用后，浏览器会自动检测插件的更新情况，并在有新版本时提示用户更新。
6. 如果插件已经安装了最新版本，但仍然提示更新，可能是因为插件与系统不兼容或者插件本身存在问题。这时可以尝试卸载并重新安装插件。
7. 在安装新插件时，确保从官方或可信的网站下载，避免下载到恶意软件。
8. 安装完成后，检查插件是否正常运行，如果没有问题，则可以正常使用。